Gottfried Leibniz
N. en
1646 en Leipzig, Alemania.
M. en
1716 Hannover, Alemania. Descubre
y desarrolla el cálculo diferencial en 1675. cálculo diferencial e integral así como los símbolos al igual que la
derivación.
Gottfried
Wilhelm Leibniz, a veces Gottfried Wilhelm von Leibniz1 (Leipzig, 1 de julio de
1646-Hannover, 14 de noviembre de 1716), fue un filósofo, lógico, matemático,
jurista, bibliotecario y político alemán.
Fue
uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como
"El último genio universal". Realizó profundas e importantes
contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica,filosofía de
la religión, así como en la matemática, física, geología, jurisprudencia e
historia. Incluso Denis Diderot, el filósofo deísta francés del siglo XVIII,
cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de Leibniz, no podía
evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en la Enciclopedia:
"Quizás nunca haya un hombre que haya leído tanto, estudiado tanto,
meditado más y escrito más que Leibniz... Lo que ha elaborado sobre el mundo,
sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus
ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig
no cedería en nada al filósofo de Atenas."2
De
hecho, el tono de Diderot es casi de desesperanza en otra observación, que
contiene igualmente mucha verdad: "Cuando uno compara sus talentos con los
de Leibniz, uno tiene la tentación de tirar todos sus libros e ir a morir
silenciosamente en la oscuridad de algún rincón olvidado." La reverencia
de Diderot contrasta con los ataques que otro importante filósofo, Voltaire,
lanzaría contra el pensamiento filosófico de Leibniz. A pesar de reconocer la
vastedad de la obra de éste, Voltaire sostenía que en toda ella no había nada
útil que fuera original, ni nada original que no fuera absurdo y risible.
Ocupa
un lugar igualmente importante tanto en la historia de la filosofía como en la
de la matemática. Inventó el cálculo infinitesimal, sin conocer trabajo alguno
de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces. También inventó el
sistema binario, fundamento virtualmente de todas las arquitecturas de las
computadoras actuales.3 Fue uno de los primeros intelectuales europeos que
reconocieron el valor y la importancia del pensamiento chino y de China como
potencia desde todos los puntos de vista.
René
Descartes, Baruch Spinoza y Leibniz integran la terna de los tres grandes
racionalistas del siglo XVII. Su filosofía se vincula también con la tradición
escolástica y anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica. Leibniz hizo
asimismo contribuciones a la tecnología y anticipó nociones que aparecieron
mucho más tarde en biología, medicina, geología, teoría de la probabilidad,
psicología, ingeniería y ciencias de la computación. Sus contribuciones a esta
vasta lista de temas se recogen en diarios y en decenas de miles de cartas y
manuscritos inéditos. Hasta el momento, no se ha realizado una edición completa
de sus escritos, y por ello no es posible aún hacer un recuento integral de sus
logros.
Breve esbozo de
la vida y obra de Leibniz:
·
1646-1666: Años formativos.
·
1666-1674: Principalmente al servicio del Obispo Elector de Maguncia, Juan Felipe de Schönborn, además de su
ministro, el Barón von Boineburg.
·
1672-1676. Residencia en París, realiza dos
viajes importantes a Londres.
·
1676-1716. Servicio a la Casa de Hanover.
·
1677-1698. Cortesano, primero de Juan Federico,
Duque de Brunswick-Luneburgo, después de su hermano, el
Duque y más tarde Elector Ernesto Augusto de Hanover.
·
1687-1690. Viaja extensamente por Alemania,
Austria e Italia, investigando un libro comisionado por el Elector sobre la
historia de la casa de Brunswick.
·
1698-1716: Cortesano del Elector Jorge Luis de Hanover.
·
1712-1714. Residencia en Viena.
Nombrado consejero de la Corte Imperial en 1713 por Carlos VI del Sacro Imperio Romano
Germánico, en la corte de los Habsburgo en Viena.
·
1714-1716: Jorge Luis, al convertirse en Jorge I de Gran Bretaña, le prohíbe a Leibniz
seguirlo a Londres. Leibniz termina sus días en un relativo olvido y abandono.
Matemática
Aunque la noción
matemática de función estaba implícita en la trigonometría y las tablas
logarítmicas, las cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en
1692 y 1694, en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios
conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada,
tangente, cuerda y perpendicular.12 En el siglo XVIII, el concepto de “función”
perdió estas asociaciones meramente geométricas.
Leibniz fue el primero
en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser
organizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser
manipulado para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método
fue conocido más tarde como “eliminación gaussiana”. Leibniz también hizo aportes
en el campo del álgebra booleana y la lógica simbólica.
Cálculo
infinitesimal
La invención del
cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Newton. De acuerdo
con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un
acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral
para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x). Leibniz introdujo
varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo
“integral” ∫, que representa una S alargada, derivado del latín summa, y la
letra "d" para referirse a los “diferenciales”, del latín
differentia. Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es
probablemente su legado matemático más perdurable. Leibniz no publicó nada acerca
de su Calculus hasta 1684.13 La regla del producto del cálculo diferencial es
aún denominada “regla de Leibniz para la derivación de un producto”. Además, el
teorema que dice cuándo y cómo diferenciar bajo el símbolo integral, se llama
la “regla de Leibniz para la derivación de una integral”.
Desde 1711 hasta su
muerte, la vida de Leibniz estuvo emponzoñada con una larga disputa con John
Keill, Newton y otros sobre si había inventado el cálculo independientemente de
Newton, o si meramente había inventado otra notación para las ideas de
Newton.14
Leibniz pasó entonces
el resto de su vida tratando de demostrar que no había plagiado las ideas de
Newton.
Actualmente se emplea
la notación del cálculo creada por Leibniz, no la de Newton.
Isaac Newton
(Woolsthorpe, Lincolnshire; 25 de
diciembre de 1642jul./ 4 de enero de 1643greg.-Kensington,Londres;
20 de marzojul./ 31 de marzo de 1727greg.). Fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista ymatemático inglés.
Es autor de los Philosophiæ naturalis principia mathematica, más conocidos
como losPrincipia, donde describe la ley de la gravitación
universal y estableció las bases de la mecánica clásicamediante las leyes que
llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los
trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se
presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo
del cálculo matemático.
Newton comparte con Gottfried Leibniz el
crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó
para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de
la matemática, desarrollando elteorema del binomio y
las fórmulas de Newton-Cotes.
Entre sus hallazgos científicos se encuentran el
descubrimiento de que el espectro de color que se observa cuando la
luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de
provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el
siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera
compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección
térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire;
sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta
de una teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un pionero de
la mecánica de fluidos, estableciendo una ley sobre la viscosidad.
Newton fue el primero en
demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en
la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes
son las mismas. Es, a menudo, calificado como elcientífico más grande de
todos los tiempos, y su obra como la culminación de la revolución
científica. El matemático y físico Joseph Louis Lagrange (1736-1813),
dijo que «Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más
afortunado, dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el
mundo».
Desarrollo del Cálculo
De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue
elegido fellow del Trinity College. En 1669, su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemática, puesto en
el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow,
su Analysis per aequationes
número terminorum infinitos. Para Newton, este manuscrito representa la
introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.
Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e
integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres
enfoques diferentes de su nuevo análisis.
Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del
desarrollo de esta rama de la matemática. Los historiadores de la ciencia
consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación
de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas
prácticos. La polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y
continentales. Sin embargo esta separación no fue tan profunda como para que
Newton y Leibniz dejaran de intercambiar resultados.
Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque
geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas
definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo
cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría
de tangentes. Después de los estudios
de Roberval, Newton se percató
de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades
instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones
Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes,
curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de
la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus
variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.
Después de 1666 Newton abandonó sus trabajos matemáticos, y se sintió
cada vez más interesado por el estudio de la naturaleza y la creación de susPrincipia.
Trabajos sobre la luz
Entre 1670 y 1672 trabajó intensamente en problemas relacionados con la
óptica y la naturaleza de la luz. Newton demostró que la luz blanca estaba formada por una banda de
colores (rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul yvioleta) que podían separarse por medio de un prisma. Como consecuencia de estos
trabajos concluyó que cualquiertelescopio refractor sufriría de un tipo de
aberración conocida en la actualidad como aberración cromática, que consiste en la
dispersión de la luz en diferentes colores al atravesar una lente. Para evitar este problema inventó untelescopio reflector (conocido como telescopio newtoniano).
Sus experimentos sobre la naturaleza de la luz le llevaron a formular su
teoría general sobre la misma, que, según él, está formada por corpúsculos y se propaga en línea
recta y no por medio de ondas. El libro en que expuso esta teoría fue
severamente criticado por la mayor parte de sus contemporáneos, entre
ellos Hooke (1635-1703) y Huygens, quienes sostenían ideas diferentes defendiendo
una naturaleza ondulatoria. Estas críticas provocaron su recelo por las
publicaciones, por lo que se retiró a la soledad de su estudio en Cambridge.
En 1704, Newton escribió su obra más importante sobre óptica, Opticks, en la que exponía sus teorías anteriores y la
naturaleza corpuscular de la luz, así como un estudio detallado sobre fenómenos
como la refracción, la reflexión y la dispersión de la luz.
Aunque sus ideas acerca de la naturaleza corpuscular de la luz pronto
fueron desacreditadas en favor de la teoría ondulatoria, los científicos
actuales han llegado a la conclusión (gracias a los trabajos de Max Planck y Albert Einstein) de que la luz tiene una
naturaleza dual: es onda y corpúsculo al mismo tiempo. Esta es la base en la
cual se apoya toda la mecánica cuántica.
Ley De La Gravitación universal
Bernard Cohen afirma que «El momento
culminante de la Revolución científica fue el descubrimiento
realizado por Isaac Newton de la ley de la gravitación universal». Con una
simple ley, Newton dio a entender los fenómenos físicos más importantes
del universo observable, explicando las tres leyes
de Kepler. La ley de la gravitación universal descubierta
por Newton se escribe:
,
donde F es la
fuerza, G es una constante que determina la
intensidad de la fuerza y que sería medida años más tarde por Henry Cavendish en su célebre experimento
de la balanza de torsión, m1 y m2 son las masas de
dos cuerpos que se atraen entre sí y r es la distancia entre ambos cuerpos, siendo el vector unitario que
indica la dirección del movimiento (si bien existe cierta polémica acerca de
que Cavendish hubiera medido realmente G, pues algunos estudiosos afirman que
simplemente midió la masa terrestre).
La ley de gravitación universal nació en 1685 como culminación de una
serie de estudios y trabajos iniciados mucho antes. La primera referencia
escrita que tenemos de la idea de la atracción universal es de 1666, en el
libro Micrographia, de Robert Hooke.24 En 1679 Robert Hooke introdujo a Newton en el
problema de analizar una trayectoria curva. Cuando Hooke se convirtió en
secretario de la Royal Society quiso entablar una correspondencia filosófica
con Newton. En su primera carta planteó dos cuestiones que interesarían
profundamente a Newton. Hasta entonces científicos y filósofos como Descartes yHuygens analizaban el movimiento
curvilíneo con la fuerza centrífuga. Hooke, sin embargo, proponía
"componer los movimientos celestes de los planetas a partir de un
movimiento rectilíneo a lo largo de la tangente y un movimiento
atractivo, hacia el cuerpo central." Sugiere que la fuerza centrípeta
hacia el Solvaría en razón inversa al cuadrado de las distancias.
Newton contesta que él nunca había oído hablar de esta hipótesis.
En otra carta de Hooke, escribe: «Nos queda ahora por conocer las
propiedades de una línea curva... tomándole a todas las distancias en
proporción cuadrática inversa». En otras palabras, Hooke deseaba saber cuál es
la curva resultante de un objeto al que se le imprime una fuerza inversa al
cuadrado de la distancia. Hooke termina esa carta diciendo: «No dudo que usted,
con su excelente método, encontrará fácilmente cuál ha de ser esta curva».
En 1684 Newton informó a su amigo Edmund Halley de que había resuelto el
problema de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Newton redactó estos cálculos en el tratado De
Motu y los desarrolló ampliamente en el libro Philosophiae
naturalis principia mathematica. Aunque muchos astrónomos no
utilizaban las leyes de Kepler, Newton intuyó su gran
importancia y las engrandeció demostrándolas a partir de su ley de la gravitación universal.
Sin embargo, la gravitación universal es mucho más que una fuerza
dirigida hacia el Sol. Es también un efecto de los planetas sobre el Sol y sobre todos los
objetos del Universo. Newton intuyó fácilmente a partir de su tercera
ley de la dinámica que si un objeto atrae a un segundo objeto,
este segundo también atrae al primero con la misma fuerza. Newton se percató de
que el movimiento de los cuerpos celestes no podía ser regular. Afirmó: «los
planetas ni se mueven exactamente en elipses, ni giran dos veces según la misma
órbita». Para Newton, ferviente religioso, la estabilidad de las órbitas de los
planetas implicaba reajustes continuos sobre sus trayectorias impuestas por el
poder divino.
Las leyes de la dinámica
Otro de los temas tratados en los Principia fueron las tres leyes de la dinámica o leyes de Newton, en las que explicaba el
movimiento de los cuerpos así como sus efectos y causas. Éstas son:
La primera ley de Newton o ley de la inercia
Todo cuerpo permanecerá en su
estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado
por fuerzas externas a cambiar su estado.
En esta ley, Newton afirma que un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas
externas (o las que actúan se anulan entre sí) permanecerá en reposo o
moviéndose a velocidad constante.
Esta idea, que ya había sido enunciada por Descartes y Galileo, suponía romper con la física aristotélica, según la cual un cuerpo sólo
se mantenía en movimiento mientras actuara una fuerza sobre él.
La segunda ley de Newton o ley de la interacción y la fuerza
El cambio de movimiento es
proporcional a la fuerza motriz externa y ocurre según la línea recta a lo
largo de la cual aquella fuerza se imprime.
Esta ley explica las condiciones necesarias para modificar el estado de
movimiento o reposo de un cuerpo. Según Newton estas modificaciones sólo tienen
lugar si se produce una interacción entre dos cuerpos, entrando o no en
contacto (por ejemplo, la gravedad actúa sin que haya contacto físico). Según la
segunda ley, las interacciones producen variaciones en el momento lineal, a razón de
Siendo la fuerza, el diferencial del
momento lineal, el diferencial del
tiempo.
La segunda ley puede resumirse en la fórmula
siendo la fuerza (medida en
newtons) que hay que aplicar sobre un cuerpo de masa m para provocar una
aceleración .
La tercera ley de Newton o ley de acción-reacción
Con toda acción ocurre siempre
una reacción igual y contraria; las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son
iguales y dirigidas en sentidos opuestos.
Esta ley se refleja constantemente en la naturaleza: se tiene una
sensación de dolor al golpear una mesa, puesto que la mesa
ejerce una fuerza sobre ti con la misma intensidad; el impulso que consigue
un nadador al ejercer una fuerza sobre el borde de
la piscina, siendo la fuerza que le impulsa la reacción del
borde a la fuerza que él está ejerciendo.
Actuación pública
En 1687 defendió los derechos de la Universidad de Cambridge contra el
impopular rey Jacobo II, que intentó transformar la
universidad en una institución católica. Como resultado de la eficacia que
demostró en esa ocasión fue elegido miembro del Parlamento en 1689, cuando el
rey fue destronado y obligado a exiliarse. Mantuvo su escaño durante varios
años sin mostrarse muy activo durante los debates. Durante este tiempo
prosiguió sus trabajos de química. Se dedicó también al estudio de la hidrostática y de la hidrodinámica, además de construir
telescopios.
Después de haber sido profesor durante cerca de treinta años, Newton
abandonó su puesto para aceptar la responsabilidad de Director de la Moneda en 1696.
Durante este periodo fue un incansable perseguidor de falsificadores, a los que
enviaba a la horca, y propuso por primera vez el uso del oro como patrón
monetario. Durante los últimos treinta años de su vida, abandonó prácticamente
toda actividad científica y se consagró progresivamente a los estudios
religiosos. Fue elegido presidente de la Royal Society en 1703 y reelegido cada
año hasta su muerte. En 1705 fue nombrado caballero por la reina Ana, como recompensa a los
servicios prestados a Inglaterra. Aún perteneciendo al Gobierno y siendo por
ello un hombre rico, hacia 1721 acabó perdiendo 20 000 libras debido a
la burbuja de los mares del Sur, ante lo que diría que «puedo
predecir el movimiento de los cuerpos celestes, pero no la locura de las
gentes».
Alquimia
Escribió más de un millón de palabras sobre este tema, algo que tardó en
saberse ya que la alquimia era ilegal en aquella época. Como alquimista, Newton
firmó sus trabajos como Jeova
Sanctus Unus, que se interpreta como un lema anti-trinitario: Jehová único santo, y es además
un anagrama del nombre latinizado de Isaac Newton, Isaacus Neuutonus - Ieova Sanctus Unus. En el jardín tras
su habitación construyó un cobertizo a modo de laboratorio, donde de continuo
el fuego estaba encendido, y allí hacía experiencias en ese terreno.
El primer contacto que tuvo con la alquimia fue a través de Isaac Barrow y Henry More, intelectuales de Cambridge.
En 1669 redactó dos trabajos sobre la alquimia, Theatrum
Chemicum y The Vegetation
of Metals. En este mismo año fue nombrado profesor Lucasiano
de Cambridge.
En 1680 empezó su más extenso escrito alquímico, Index Chemicus (100
pp.), el cual sobresale por su gran organización y sistematización, que
concluyó a finales de siglo.25 Además, en 1692 escribió dos ensayos, de los
que sobresale De Natura Acidorum, en donde discutía la acción
química de los ácidos por medio de la fuerza atractiva de sus moléculas. Es interesante ver cómo relaciona la alquimia con
el lenguaje físico de las fuerzas.
Durante la siguiente década prosiguió sus estudios alquímicos
escribiendo obras como Ripley Expounded, Tabula Smaragdina y el más
importante Praxis, que es un conjunto de notas
sobre Triomphe
Hermétique, de Didier, libro francés cuya única
traducción es del mismo Newton.
Cabe mencionar que desde joven Newton desconfiaba de la medicina oficial y usaba sus conocimientos para
automedicarse. Muchos historiadores consideran su uso de remedios alquímicos
como la fuente de numerosos envenenamientos que le produjeron crisis nerviosas
durante gran parte de su vida. Vivió, sin embargo, 84 años.
Teología
Newton fue profundamente religioso toda su vida. Hijo de padres
puritanos, dedicó más tiempo al estudio de la Biblia que al de la ciencia. Un análisis de todo lo que escribió Newton revela
que de unas 3 600 000 palabras solo 1 000 000 se dedicaron
a las ciencias, mientras que 1 400 000 tuvieron que ver conteología.26 Se conoce una lista de cincuenta y ocho
pecados que escribió a los 19 años en la cual se puede leer «Amenazar a mi
padre y madre Smith con quemarlos y a la casa con ellos».
Newton era arrianista27 y creía en un único Dios, Dios Padre. En cuanto a los
trinitarios, creía que habían cometido un fraude a las Sagradas Escrituras y acusó a la Iglesia católica de ser la bestia
del Apocalipsis. Por estos motivos se
entiende por qué eligió firmar sus más secretos manuscritos alquímicos comoJehová Sanctus Unus. Relacionó sus
estudios teológicos con los alquímicos y creía que Moisés había sido un alquimista. Su ideología
antitrinitaria le causó problemas, ya que estudiaba en el Trinity College, en
donde estaba obligado a sostener la doctrina de la Trinidad. Newton viajó a Londres para pedirle al reyCarlos II que lo dispensara de
tomar las órdenes sagradas y su solicitud le fue concedida.
Cuando regresó a Cambridge, inició su correspondencia con el
filósofo John Locke. Newton tuvo la confianza de
confesarle sus opiniones acerca de la Trinidad y Locke le incitó a que
continuara con sus manuscritos teológicos. Entre sus obras teológicas,
algunas de las más conocidas son An Historical Account of Two Notable
Corruption of Scriptures, Chronology of Ancient Kingdoms
Atended y Observations upon the Prophecies. Newton realizó varios cálculos
sobre el "Día del Juicio Final", llegando a la conclusión de que este
no sería antes del año 2060.
Jakob Bernoulli
Jakob Bernoulli (Basilea, 27 de diciembre de 1654 - ibíd. 16 de agosto de 1705), también conocido como Jacob, Jacques o James Bernoulli, fue un
destacado matemático y científico suizo; hermano mayor de Johann Bernoulli (parte de la familia Bernoulli).
BIOGRAFÍA
Siendo joven, su padre
Nikolaus Bernoulli lo envió a la Universidad de Basilea para estudiar filosofía
y teología, con el ánimo de que se convirtiera en teólogo. Pero Jakob continuó,
a escondidas, las que eran sus auténticas aficiones: la física y las
matemáticas.
A partir de los planteamientos
de Leibniz desarrolló problemas
de cálculo infinitesimal. Fundó en Basilea un colegio experimental. Estudió por sí mismo la forma del cálculo
ideada por Leibniz. Desde 1687 hasta su muerte fue profesor de Matemáticas en
Basilea. Jacob I fue uno de los primeros en desarrollar el cálculo más allá del
estado en que lo dejaron Newton y Leibniz y en aplicarlo a nuevos problemas
difíciles e importantes. Sus contribuciones a la geometría analítica, a la
teoría de probabilidades y al cálculo de variaciones fueron de extraordinaria
importancia. Tenemos ya una muestra del tipo del problema tratado por el
cálculo de variaciones en el teorema de Fermat sobre el tiempo mínimo. La
matemática del problema se reduce a hacer que una cierta integral tome un valor
máximo sometido a una condición restrictiva. Jacob I resolvió este problema y
lo generalizó. El hecho de que la cicloide es la curva de más rápido descenso
fue descubierto por los hermanos Jacob I y Johannes I en 1697, y casi
simultáneamente por varios autores Durante un viaje a Inglaterra en 1676, Jakob Bernoulli conoció
a Robert Boyle y Robert Hooke. Este contacto le inspiró una dedicación vitalicia a la ciencia y la
matemática. Fue nombrado Lector en la Universidad de Basilea en 1682 y fue nombrado Profesor
de Matemáticas en 1687.
En 1690 se convirtió en la
primera persona en desarrollar la técnica para resolver ecuaciones diferenciales separables.
Se familiarizó con el cálculo mediante su
correspondencia con Gottfried Leibniz, y colaboró con su hermano
Johann en varias aplicaciones, siendo notable la publicación de artículos
en curvas trascendentales (1696) eisoperimetría (1700, 1701).
Su obra maestra fue Ars Conjectandi (el Arte de la
conjetura), un trabajo pionero en la teoría de la probabilidad. La publicó su sobrino
Nicholas en 1713, ocho años tras su muerte por
tuberculosis. Los términosensayo de Bernoulli y números de Bernoulli son resultado de su trabajo. También existe un cráter en la Luna bautizado cráter Bernoulli en honor suyo y de su hermano Johann.1
La espiral logarítmica
Bernoulli no escogió la figura
de la espiral logarítmica (propuesta antes por su aprendiz Andres Beat E.S), así como el
emblema en latín "Eadem mutata resurgo" (Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo) para su
epitafio. Contrariamente a su deseo de que fuese tallada una espiral logarítmica (constante en su radio), la espiral que tallaron los
maestros canteros en su tumba fue una espiral de Arquímedes (constante en su diferencia).[1] La espiral logarítmica
se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan
en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son
constantes.2
La espiral construida
utilizando rectángulos con la proporción áurea resulta una aproximación
a la espiral logarítmica, que Bernouilli deseó para su tumba, en lugar de la espiral de Arquímedes que finalmente fue erróneamente tallada.
El término espiral logarítmica se debe a Pierre Varignon. La espiral logarítmica fue estudiada
por Descartes y Torricelli, pero la persona que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli, que la
llamó Spira mirabilis, «la
espiral maravillosa». Impresionado por sus propiedades, pidió que grabaran en
su tumba, en Basilea, la espiral logarítmica con la máxima eadem mutata resurgo, pero, en su
lugar, el tallista grabó (por desconocimiento o para ahorrarse trabajo)
una espiral de Arquímedes. D'Arcy Thompson le dedicó un capítulo de su tratado On Growth and Form (1917).
"Eadem mutata
resurgo" y la espiral logarítmica son también el emblema del Colegio de Patafísica.3
Jakob Bernoulli escribió que
la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y
constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual,
después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte será
restaurado a su ser perfecto y exacto.
Guillaume de l'Hôpital
Contrata
a Bernoulli
que explicara los nuevos descubrimientos a cerca del cálculo diferencial él al dominar
la rama en 1696 L´ Hospital público el primer libro de esta materia.
El
siglo XIX, pasaron dos siglos para el fundamento del cálculo diferencial y su
solución.
Guillaume François Antoine,
marqués de l'Hôpital1 (París, 1661 – París, 2 de febrero de 1704) fue un matemáticofrancés. El más importante de sus
logros es el descubrimiento de la regla de L'Hôpital, atribuido a su nombre, que se emplea para calcular el valor límite de una fracción donde numerador y denominador tienden a cero o
ambos tienden al infinito.2
L'Hôpital nació en París,
Francia. Inicialmente planeó una carrera militar, pero su pobre visión le
obligó a cambiar a lasmatemáticas. Entre sus logros fueron la
determinación de la longitud de arco de la gráfica logarítmica, una de las soluciones
al problema de la braquistócrona, y el descubrimiento de una singularidad punto de
inflexión en la evolutade una curva plana, cerca de un punto de inflexión; independientemente al trabajo de otros matemáticos contemporáneos,
como Isaac Newton.[cita requerida] Murió en París.
Es también el autor del primer
libro de texto conocido sobre cálculo diferencial, L'Analyse
des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (“Análisis de los
infinitamente pequeños para el entendimiento de las líneas curvas”). Publicado
en 1696, el texto incluye las clases
de su profesor, Johann Bernoulli, en donde Bernoulli discute
laindeterminación "0/0". Este es el método para resolver estas
indeterminaciones a través de derivadas sucesivas que lleva su nombre.
En 1694, Bernoulli y l'Hôpital
acordaron que l'Hôpital le pagaría trescientos francos anuales para que le
transmitiera sus descubrimientos, que l'Hôpital describiría en su libro.[cita requerida] En 1704, tras la muerte de l'Hôpital,
Bernoulli reveló la existencia del trato, asegurando que la mayoría de los
descubrimientos que aparecían en el libro de l'Hôpital's eran suyos. En 1922 se encontraron
documentos que apoyaban la tesis de Bernoulli. La creencia generalizada de que
l'Hôpital trató de aprovecharse del descubrimiento de la regla que lleva su
nombre ha resultado falsa. Publicó su libro anónimamente, agradeciendo la ayuda
prestada por Bernoulli en la introducción, y nunca dijo ser el descubridor de
la regla.
Pierre de Fermat
Pierre
de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601;1 Castres, Francia, 12 de enero de1665) fue un jurista y matemático francés apodado por el
historiador de matemáticas escocés, Eric Temple Bell, con el remoquete de
«príncipe de los aficionados».2
Fermat fue junto con René Descartes uno de los principales
matemáticos de la primera mitad del siglo XVII.
Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidad es junto a Blaise Pascal e independientemente de
Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta
que fue demostrado en 1995 por Andrew Wiles ayudado por Richard
Taylor sobre la base del Teorema de Shimura-Taniyama.3
Fermat es uno de los pocos matemáticos
honrados como epónimo de un asteroide, que lleva la especificación
nominal de (12007) Fermat. También se le ha dado la denominación de Fermat a un cráter lunar de 39 km de diámetro.
Biografía
La mansión del siglo XV donde
nació es en la actualidad un museo. La escuela más antigua y prestigiosa de
Toulouse se llama Pierre de Fermat y en ella se imparten clases de ingeniería y
comercio. Está situada entre las diez mejores de Francia para clases
preparatorias. Cabe destacar que Fermat estudió y analizó las matemáticas en
sus tiempos libres ya que él tenía otra profesión.
Obra matemática
: Espiral de Fermat
También conocida como espiral parabólica, es una curva
que responde a la siguiente ecuación en coordenadas polares:
Es un caso particular de la
espiral de Arquímedes.
Números
amigos
: Números amigos
Dos números amigos son dos números naturales a y b tales
que a es la suma de
los divisores propios de b, y b es la suma de los divisores
propios de a. (La unidad
se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número.)
En 1636, Fermat descubrió que
17.296 y 18.416 eran una pareja de números amigos, además de redescubrir una
fórmula general para calcularlos, conocida por Tabit ibn Qurra, alrededor del año 850.
Números primos
Un número de Fermat es un número natural de la forma:
donde n es natural.
Pierre de Fermat conjeturó que
todos los números naturales de esta forma con n natural eran números primos, pero Leonhard Euler probó que no era así en1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
Teorema sobre la suma de dos
cuadrados
El teorema sobre la suma de
dos cuadrados afirma que todo número primo p, tal que p-1
es divisible entre 4, se puede escribir como suma de dos cuadrados. El 2
también se incluye, ya que 12+12=2. Fermat anunció su
teorema en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de
diciembre de 1640, razón por la cual se le conoce también como Teorema de navidad de Fermat
Pequeño teorema de Fermat
El pequeño teorema de Fermat, referente
a la divisibilidad de números, afirma que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le
resta a, lo que queda es
divisible por p,
siendo p un número primo. Su interés principal está en
su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.
Principio
de Fermat[editar]
Artículo
principal: Principio de Fermat
Último
teorema de Fermat[editar]
Artículo
principal: Último teorema de Fermat
Pierre de Fermat acostumbraba
a escribir las soluciones a los problemas en el margen de los libros. Una de
las notas que escribió en su ejemplar del texto griego de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría (editada por Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621) dice lo
siguiente:
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratosquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
|
Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto para el hecho una demostración excelente. Pero este margen es demasiado pequeño para que (la demostración) quepa en él.
|
Esta afirmación, más tarde ya
conocida como Último teorema de
Fermat, se convirtió en uno de los teoremas más importantes en matemáticas. No se sabe si Fermat halló
realmente la demostración, ya que no dejó rastro de ella para que otros
matemáticos pudiesen verificarla. Este problema matemático mantuvo en vilo a los matemáticos durante más de tres siglos (se
dice que, frustrado, Euler incluso pidió a un amigo
que registrara de arriba a abajo la casa de Fermat en busca de la
demostración), hasta que en 1995 Andrew Wiles ayudado por Richard Lawrence Taylor pudo demostrar el teorema. Wiles utilizó para ello herramientas matemáticas que
surgieron mucho después de la muerte de Fermat, de forma que éste debió de
encontrar la solución por otro camino, si es que lo hizo. En cualquier caso,
tenía razón.Pierre de Fermat
JOHANNES KEPLER
Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratisbona, Alemania, 15 de noviembre de 1630), figura clave en la revolución científica, astrónomo y matemático alemán; conocido fundamentalmente por sus leyes sobre el movimiento de los planetas en su órbita
alrededor del Sol. Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyó como matemático imperial de Rodolfo II.
En 1935 la UAI decidió llamarle en su
honor «Kepler» a un astroblema lunar.
Kepler se crió en el seno de
una familia protestante luterana, que vivía en la ciudad de Weil der Stadt enBaden-Wurtemberg, Alemania. Su abuelo había sido el alcalde de la
ciudad, pero cuando nació Kepler, la familia se encontraba en decadencia. Su
padre, Heinrich Kepler, era mercenario en el ejército del Duque deWurtemberg y, siempre en campaña, raramente estaba presente en su domicilio.
Su madre, Katherina Guldenmann, que llevaba una casa de
huéspedes, era curandera y herborista, y más tarde fue acusada de brujería.
Kepler, nacido prematuramente a los siete meses de embarazo, e hipocondríaco de naturaleza endeble, sufrió toda su vida
una salud frágil. A la edad de tres años, contrae viruela, lo que, entre otras secuelas, debilitaría severamente su vista. A
pesar de su salud, fue un niño brillante al que le gustaba impresionar viajeros
en la hospedería de su madre con sus fenomenales facultades matemáticas.
Heinrich Kepler tuvo además otros tres hijos: Margarette, de la que Kepler se
sentía muy próximo, Christopher, que le fue siempre antipático, y Heinrich.
De 1574 a 1576, vivió con Heinrich –que
era epiléptico– en casa de sus abuelos
mientras que su padre estaba en una campaña y su madre había ido en su busca.3
Al regresar sus padres, Kepler
se trasladó a Leonberg y entra en la escuela
latina en 1577. Sus padres le despertaron el interés por la astronomía. Con cinco años, observó el cometa de 1577, comentando que su madre lo llevó a un lugar alto para
verlo. Su padre le mostró a la edad de nueve años el eclipse de luna del 31 de enero de 1580, recordando que la Luna
aparecía bastante roja. Kepler estudió más tarde el fenómeno y lo explicó en
una de sus obras de óptica. Su padre partió de nuevo para la guerra en 1589, desapareciendo para siempre.
Kepler terminó su primer ciclo
de tres años en 1583, con retraso debido a su
empleo como jornalero agrícola, entre nueve y once años. En 1584, entró en el Seminario protestante de Adelberg y dos años más tarde, en
el Seminario superior de Maulbronn.
Obtuvo allí el diploma de fin
de estudios y se matriculó en 1589 en la universidad de Tubinga. Comenzó primero a estudiar
ética, dialéctica, retórica, griego, hebreo, astronomía y física, y más tarde
teología y ciencias humanas. Continuó con sus estudios después de obtener
la maestría en 1591. Su profesor de matemáticas, el astrónomo Michael Maestlin, le enseñó el sistema heliocéntrico de Copérnico que se reservaba a los
mejores estudiantes. Los otros estudiantes tomaban como cierto el sistema geocéntrico de Ptolomeo, que afirmaba que la Tierra estaba inmóvil y ocupaba el centro del Universo, y que elSol, la Luna, los planetas y las estrellas giraban a su alrededor.
Kepler se hizo así un copernicano convencido y mantuvo una relación muy
estrecha con Maestlin; no vaciló en pedirle ayuda o consejo para sus trabajos.
Mientras Kepler planeaba
hacerse pastor luterano, la escuela protestante de Graz buscaba a un profesor de matemáticas. Abandonó entonces los
estudios de Teología para tomar el puesto y dejó Tubinga en 1594. En Graz, publicó almanaques con predicciones astrológicas –que él
escribía– aunque negaba algunos de sus preceptos. En la época, la distinción
entre ciencia y creencia no estaba establecida todavía claramente, y el
movimiento de los astros, todavía bastante desconocido, se consideraba
gobernado por leyes divinas.
Kepler estuvo casado dos
veces. Contrajo el primer matrimonio, de conveniencia, el 27 de abril de 1597 con Barbara Müller. En el año 1600, fue obligado a abandonar Austria cuando el archiduque Fernando promulgó un edicto
contra los protestantes. En octubre de ese mismo año se trasladó a Praga, donde fue invitado por Tycho Brahe, que había leído algunos trabajos de Kepler. Al año siguiente, Tycho
Brahe falleció y Kepler lo sustituyó en el cargo de matemático imperial
de Rodolfo II y trabajó frecuentemente
como consejero astrológico.
En 1612 murió su esposa Barbara Müller, al igual que dos de los cinco
niños –de edades de apenas uno y dos meses– que habían tenido juntos. Este
matrimonio de conveniencia, organizado por sus allegados, lo unió a una mujer
"grasa y simple de espíritu", con carácter execrable. Otro de los
hijos murió a la edad de siete años. Sólo su hija Susanne y su hijo Ludwig
sobrevivieron. Al año siguiente, se casó en Linz con Susanne Reuttinger, con la que tuvo siete niños, de los que
tres fallecerán muy temprano.
En 1615, su madre, entonces a la edad de 68 años, fue acusada de brujería.
Kepler, persuadido de su inocencia, pasó seis años trabajando en su defensa
ante los tribunales y escribiendo numerosos alegatos. Debió regresar dos veces
a Wurtemberg. Ella pasó un año encerrada en la torre de Güglingen, a expensas
de Kepler, habiendo escapado por poco de la tortura. Finalmente, fue liberada
el 28 de septiembre de 1621. Debilitada por los duros
años de proceso y de encarcelamiento, murió seis meses más tarde. En 1628
Kepler pasó al servicio de Albrecht von Wallenstein, en Silesia, quien le prometió, en vano, resarcirle de la deuda contraída con él
por la Corona a lo largo de los años. Un mes antes de morir, víctima de la
fiebre, Kepler abandonó Silesia en busca de un nuevo empleo.
Kepler murió en 1630 en
Ratisbona, en Baviera, Alemania, a la edad de 58 años.4
En 1632, durante la Guerra de los Treinta Años, el ejército sueco destruyó su tumba y se perdieron sus trabajos hasta el año 1773.
Recuperados por Catalina II de Rusia, se encuentran actualmente en
el Observatorio de Pulkovo en San Petersburgo, Rusia.
Obra
científica
Modelo platónico del Sistema Solarpresentado por Kepler en su obra Misterium Cosmographicum (1596).
Después de estudiar teología
en la universidad de Tubinga, incluyendo astronomía
con Michael Maestlin, seguidor deCopérnico, enseñó en el seminario
protestante de Graz. Kepler intentó comprender las leyes del movimiento
planetario durante la mayor parte de su vida. En un principio Kepler consideró
que el movimiento de los planetas debía cumplir las leyes pitagóricas de la
armonía. Esta teoría es conocida como la música o la armonía de las
esferas celestes. En su visión cosmológica no era casualidad que el número de planetas
conocidos en su época fuera uno más que el número de poliedros perfectos. Siendo un firme partidario
del modelo copernicano, intentó demostrar que las
distancias de los planetas al Sol venían dadas por esferas en el interior de poliedros perfectos,
anidadas sucesivamente unas en el interior de otras. En la esfera interior
estaba Mercurio mientras que los otros
cinco planetas (Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno) estarían situados en el interior de los cinco sólidos platónicos
correspondientes también a los cinco elementos clásicos.
En 1596 Kepler escribió un libro en el que exponía sus ideas. Mysterium
Cosmographicum (El misterio cósmico).
Siendo un hombre de gran vocación religiosa, Kepler veía en su modelo
cosmológico una celebración de la existencia, sabiduría y elegancia de Dios.
Escribió: «yo deseaba ser teólogo;
pero ahora me doy cuenta gracias a mi esfuerzo de que Dios puede ser celebrado
también por la astronomía».
En 1600 acepta la propuesta de
colaboración del astrónomo imperial Tycho Brahe, que a la sazón había montado el mejor centro de observación
astronómica de esa época. Tycho Brahe disponía de los que entonces eran los
mejores datos de observaciones planetarias pero la relación entre ambos fue
compleja y marcada por la desconfianza. Hasta 1602, a la muerte de Tycho,
Kepler no consiguió tener acceso a todos los datos recopilados por Tycho, mucho
más precisos que los manejados por Copérnico. A la vista de los datos, especialmente
los relativos al movimiento retrógrado de Marte se dio cuenta de que el movimiento de los planetas no podía ser
explicado por su modelo de poliedros perfectos y armonía de esferas. Kepler,
hombre profundamente religioso, incapaz de aceptar que Dios no hubiera
dispuesto que los planetas describieran figuras geométricas simples, se dedicó
con tesón ilimitado a probar con toda suerte de combinaciones de círculos. Cuando
se convenció de la imposibilidad de lograrlo con círculos, usó óvalos. Al
fracasar también con ellos, «sólo me quedó una carreta de estiércol» y empleó
elipses. Con ellas desentrañó sus famosas tres leyes (publicadas en 1609 en su obra Astronomia Nova) que describen el movimiento de los planetas.
Leyes que asombraron al mundo, le revelaron como el mejor astrónomo de su
época, aunque él no dejó de vivir como un cierto fracaso de su primigenia
intuición de simplicidad (¿por qué elipses, habiendo círculos?). Sin embargo,
tres siglos después, su intuición se vio confirmada cuando Einstein mostró en su Teoría de la Relatividad general que en la geometría
tetradimensional del espacio-tiempo los cuerpos celestes siguen líneas rectas.
Y es que aún había una figura más simple que el círculo: la recta.
Mapa del
mundo, de Tabulae Rudolphine.
En 1627 publicó las Tabulae Rudolphine, a las que dedicó
un enorme esfuerzo, y que durante más de un siglo se usaron en todo el mundo
para calcular las posiciones de los planetas y las estrellas. Utilizando las
leyes del movimiento planetario fue capaz de predecir satisfactoriamente
el tránsito de Venus del año 1631 con lo que su teoría quedó confirmada.
Escribió un biógrafo de la
época con admiración, lo grande y magnífica que fue la obra de Kepler, pero al
final se lamentaba de que un hombre de su sabiduría, en la última etapa de su
vida, tuviese demencia senil, llegando incluso a afirmar que "las mareas venían motivadas por una atracción que la luna ejercía sobre los
mares...", un hecho que fue demostrado años después de su muerte.
En su honor una cadena
montañosa del satélite marciano Fobos fue bautizada con el nombre de 'Kepler Dorsum'.
Las tres leyes de Keple
Artículo
principal: Leyes de Kepler
Durante su estancia con Tycho
le fue imposible acceder a los datos de los movimientos aparentes de los
planetas ya que Tycho se negaba a dar esa información. Ya en el lecho de muerte
de Tycho y después a través de su familia, Kepler accedió a los datos de las
órbitas de los planetas que durante años se habían ido recolectando. Gracias a
esos datos, los más precisos y abundantes de la época, Kepler pudo ir deduciendo
las órbitas reales planetarias. Afortunadamente, Tycho se centró en Marte, con una órbita elíptica muy acusada. De otra manera le hubiera sido
imposible a Kepler darse cuenta de que las órbitas de los planetas eran
elípticas. Inicialmente, Kepler intentó la circunferencia por ser la más
perfecta de las trayectorias, pero los datos observados impedían un ajuste
correcto, lo que entristeció a Kepler, ya que no podía saltarse un pertinaz
error de ocho minutos de arco. Kepler comprendió que debía abandonar la
circunferencia, lo que implicaba abandonar la idea de un "mundo
perfecto". De profundas creencias religiosas, le costó llegar a la
conclusión de que la tierra era un planeta imperfecto, asolado por las guerras.
En esa misma misiva incluyó la cita clave: "Si los planetas son lugares
imperfectos, ¿por qué no han de serlo las órbitas de las mismas?".
Finalmente utilizó la fórmula de la elipse, una rara figura descrita por Apolonio de Pérgamo en una de las obras
salvadas de la destrucción de la biblioteca de Alejandría. Descubrió que encajaba
perfectamente en las mediciones de Tycho.
Había descubierto su primera
ley, la primera ley de Kepler:
Los planetas tienen
movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los 2
focos que contiene la elipse.
Después de ese importante
salto, en donde por primera vez los hechos se anteponían a los deseos y los
prejuicios sobre la naturaleza del mundo. Kepler se dedicó simplemente a
observar los datos y sacar conclusiones ya sin ninguna idea preconcebida. Pasó
a comprobar la velocidad del planeta a través de las órbitas llegando a
la segunda ley:
Las áreas barridas por los
radios de los planetas son proporcionales al tiempo empleado por estos en
recorrer el perímetro de dichas áreas.
Durante mucho tiempo, Kepler
sólo pudo confirmar estas dos leyes en el resto de planetas. Aun así fue un
logro espectacular, pero faltaba relacionar las trayectorias de los planetas
entre sí. Tras varios años, descubrió la tercera e
importantísima ley del movimiento planetario:
El cuadrado de los períodos de
la órbita de los planetas es proporcional al cubo de la distancia promedio al
Sol.
Esta ley, llamada
también ley armónica,
junto con las otras leyes, permitía ya unificar, predecir y comprender todos
los movimientos de los astros
